西姆松定理及逆定理简介

西姆松定理（Simson theorem）：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线，此线为西姆松线（Simson line）。其逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

一、西姆松定理的证明

如图1，从△ABC的外接圆上任意一点P（异于顶点A、B、C）向三边BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F。证明：D、E、F三点共线。

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解题思路（1）：连接DF、DE、PB、PC（图2），

易证F、B、P、D和D、P、E、C四点共圆，则

∠FDB=∠FPB，∠CDE=∠CPE。

在Rt△BFP和Rt△CEP中，

∠ABP=∠PCE（圆内接四边形的外角等于其内对角）

故∠CPE=∠FPB（等角的余角相等），则∠CDE=∠FDB。

因∠BDE+∠CDE=180°，则∠BDE+∠FDB =180°，

故F、D、E三点共线成立。

或∠FDP+∠FBP=∠FDP+∠PCE

=∠FDP+∠PDE

=180°，这样F、D、E三点共线亦成立。

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解题思路（2）：利用梅涅劳斯定理的逆定理，连接DE、DF、PB、PA、PC（图3），根据同弧对等角、圆内接四边形的外角性质，易证下列3组相似三角形及对应线段比例关系：

Rt△PEC∽Rt△PFB，EC/FB=PC/PB…………①;

Rt△AFP∽Rt△CDP，AF/DC=AP/PC…………②;

Rt△BDP∽Rt△AEP，BD/EA=PB/AP…………③。

假设△ABC被“线段”FDE所截，将①、②、③式代入梅涅劳斯定理线段比例表达式：

AF/FB·BD/DC·EC/EA

=EC/FB·AF/DC·BD/EA

= PC/PB·AP/PC·PB/AP

=1，

根据梅涅劳斯定理的逆定理，F、D、E三点共线成立。

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二、西姆松定理的逆定理的证明

如图4，D为△ABC外一点，过D作△ABC三边（及其延长线）的垂线分别交AB、BC、AC延长线于E、F、G三点，且该三点共线。求证：点D在△ABC的外接圆上。

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解题思路：本题的实质是证明A、B、D、C四点共圆，如果能证明∠DCG=∠ABD，或∠A+∠BDC=180°，则此题可解。

连接DC、DB（图5），易证F、E、B、D和F、D、G、C四点共圆，则∠DCG=∠DFG =∠EBD，即∠DCG=∠ABD成立，A、B、D、C四点共圆得证。

或因∠A+∠ABC+∠ACB

=∠A+∠EDF+∠FDG

=∠A+∠EDG

=180°。

易证∠CDG=∠BDE=ε，

故∠A+∠EDG

=∠A+∠BDC

=180°，则A、B、D、C四点共圆成立，点D在△ABC的外接圆上得证。

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